Cálculo de Derivadas Paso a Paso
La derivada es uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial. Representa la tasa de cambio instantánea de una función en un punto específico. Geométricamente, la derivada corresponde a la pendiente de la recta tangentea la gráfica de la función en ese punto.
Si tenemos una función f(x), su derivada se denota como f'(x), df/dx, o dy/dx, y nos indica cómo cambia el valor de la función cuando hacemos un cambio infinitesimal en x.
Reglas básicas de derivación
1. Regla de la constante
La derivada de una constante siempre es cero, ya que las constantes no cambian:
Ejemplo: d/dx(5) = 0
2. Regla de la potencia
Esta es una de las reglas más importantes y útiles del cálculo. Para derivar x elevado a una potencia n, multiplicamos por el exponente y restamos 1 al exponente:
Ejemplo: d/dx(x³) = 3x²
Ejemplo: d/dx(x²) = 2x
3. Regla de la suma y la resta
La derivada de una suma (o resta) de funciones es la suma (o resta) de las derivadas:
Ejemplo: d/dx(x² + 3x) = 2x + 3
4. Regla del producto
Para derivar el producto de dos funciones, aplicamos la siguiente fórmula:
Ejemplo: d/dx(x²·sin(x)) = 2x·sin(x) + x²·cos(x)
5. Regla del cociente
Para derivar el cociente de dos funciones:
Ejemplo: d/dx(x²/x³) = (2x·x³ - x²·3x²) / (x³)² = -x²/x⁶ = -1/x⁴
6. Regla de la cadena
Para derivar una función compuesta (función de función), multiplicamos la derivada de la función exterior por la derivada de la función interior:
Ejemplo: d/dx(sin(x²)) = cos(x²)·2x
Derivadas de funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas tienen derivadas específicas que es importante memorizar:
- d/dx(sin(x)) = cos(x) - La derivada del seno es el coseno
- d/dx(cos(x)) = -sin(x) - La derivada del coseno es menos el seno
- d/dx(tan(x)) = sec²(x) = 1/cos²(x) - La derivada de la tangente
- d/dx(cot(x)) = -csc²(x) = -1/sin²(x) - La derivada de la cotangente
- d/dx(sec(x)) = sec(x)·tan(x) - La derivada de la secante
- d/dx(csc(x)) = -csc(x)·cot(x) - La derivada de la cosecante
Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
Función exponencial
La función exponencial con base e tiene una propiedad única: su derivada es ella misma.
La derivada de e^x es e^x
Para otras bases:
Ejemplo: d/dx(2^x) = 2^x · ln(2)
Función logarítmica
La derivada del logaritmo natural es:
Válida para x > 0
Para logaritmos en otras bases:
Ejemplo: d/dx(log₁₀(x)) = 1/(x·ln(10))
Aplicaciones de las derivadas
1. Física - Velocidad y aceleración
Si s(t) representa la posición de un objeto en el tiempo, entonces:
- v(t) = s'(t) - La velocidad es la derivada de la posición
- a(t) = v'(t) = s''(t) - La aceleración es la derivada de la velocidad
2. Economía - Análisis marginal
En economía, las derivadas representan análisis marginal:
- Costo marginal - Derivada de la función de costo total
- Ingreso marginal - Derivada de la función de ingreso
- Utilidad marginal - Derivada de la función de utilidad
3. Optimización - Máximos y mínimos
Las derivadas nos ayudan a encontrar puntos máximos y mínimos de funciones:
- Los puntos críticos ocurren donde f'(x) = 0 o f'(x) no existe
- La segunda derivada f''(x) nos indica si es un máximo (f'' < 0) o mínimo (f'' > 0)
4. Biología - Tasas de crecimiento
En biología, las derivadas modelan tasas de crecimiento de poblaciones, propagación de enfermedades, y reacciones químicas en el metabolismo.
Derivadas en el currículo español
Bachillerato (Matemáticas II)
Las derivadas se introducen en 1º de Bachillerato de Ciencias como parte del bloque de Análisis. Los estudiantes aprenden:
- Concepto de derivada como tasa de cambio y pendiente de la tangente
- Cálculo de derivadas usando reglas básicas (potencia, suma, producto, cociente)
- Derivadas de funciones polinómicas, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas
- Aplicaciones: recta tangente, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos
EVAU (Selectividad)
En los exámenes de acceso a la universidad (EVAU/PAU), las derivadas son un tema fundamental que aparece regularmente en problemas de:
- Estudio completo de funciones (dominio, asíntotas, crecimiento, extremos)
- Optimización (maximizar beneficios, minimizar costos)
- Problemas aplicados de física, economía y geometría
- Cálculo de rectas tangentes y normales a curvas
Universidad
En carreras de ciencias, ingeniería y economía, el cálculo diferencial se profundiza con:
- Derivadas parciales para funciones de varias variables
- Derivadas implícitas y paramétricas
- Teoremas fundamentales (Rolle, valor medio, Taylor)
- Aplicaciones avanzadas en ecuaciones diferenciales
Consejos para calcular derivadas
- Identifica el tipo de función: Antes de derivar, reconoce si es una función polinómica, trigonométrica, exponencial, logarítmica o una combinación.
- Aplica las reglas en orden: Primero identifica si necesitas la regla de la cadena, producto o cociente antes de aplicar las reglas básicas.
- Simplifica antes y después: Simplificar la expresión original puede hacer el cálculo más fácil, y siempre simplifica el resultado final.
- Practica con ejemplos: La habilidad para derivar mejora significativamente con la práctica regular.
- Verifica tu resultado: Puedes verificar derivadas usando software o calculadoras como esta para confirmar tus cálculos a mano.
Preguntas frecuentes sobre derivadas
¿Para qué sirven las derivadas en la vida real?
Las derivadas tienen aplicaciones prácticas en múltiples campos: en física para calcular velocidades y aceleraciones, en economía para análisis marginal y optimización de costos, en ingeniería para diseño de estructuras, en medicina para modelar el crecimiento de tumores o la propagación de enfermedades, y en inteligencia artificial para entrenar redes neuronales mediante el algoritmo de descenso de gradiente.
¿Cuál es la diferencia entre derivada y diferencial?
La derivada f'(x) es la tasa de cambio instantánea de la función en un punto. El diferencial dy = f'(x)dx representa un cambio infinitesimal en y correspondiente a un cambio infinitesimal dx en x. El diferencial es útil para aproximaciones lineales y cálculo de errores.
¿Qué significa que una función no sea derivable?
Una función no es derivable en un punto si tiene una discontinuidad, un pico o esquina (como en |x| en x=0), o una tangente vertical. Para que exista la derivada, la función debe ser continua y suave en ese punto.
¿Cómo se relacionan derivadas e integrales?
Las derivadas e integrales son operaciones inversas según el Teorema Fundamental del Cálculo. Si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces F'(x) = f(x). Esta relación es fundamental para resolver ecuaciones diferenciales y calcular áreas bajo curvas.
¿Es lo mismo derivada que pendiente?
La derivada en un punto específico es exactamente la pendiente de la recta tangentea la curva en ese punto. Sin embargo, la derivada como función f'(x) nos da la pendiente en todos los puntos, no solo en uno.
Recursos adicionales
Para profundizar en el estudio de las derivadas y el cálculo diferencial, te recomendamos:
- Libros de texto de Bachillerato: Revisa el capítulo de derivadas en tu libro de Matemáticas II.
- Ejercicios de EVAU: Practica con exámenes anteriores de Selectividad de tu comunidad autónoma.
- Khan Academy en español: Ofrece videos explicativos y ejercicios interactivos sobre cálculo.
- Calculadoras científicas: Usa nuestra calculadora científica para verificar tus cálculos.
Aviso importante
Esta calculadora de derivadas es una herramienta educativa diseñada para ayudarte a aprender y verificar cálculos de derivadas. Actualmente soporta funciones polinómicas básicas y algunas funciones especiales (trigonométricas, exponenciales, logarítmicas).
Para funciones más complejas que involucren múltiples composiciones, productos o cocientes de funciones, recomendamos usar software de álgebra computacional más avanzado como Wolfram Alpha, Symbolab o GeoGebra.
Te animamos a usar esta herramienta junto con tus estudios teóricos y la práctica manual de derivadas para desarrollar una comprensión profunda del cálculo diferencial.